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Questão FC372054

Um processo de Wiener ��t (movimento browniano padrão) satisfaz as seguintes propriedades: − W0 = 0 com probabilidade 1. − Para t > 0, Wt tem distribuição normal com média 0 e vari

Processos Estocásticos

FCC · 2022

Um processo de Wiener ��t (movimento browniano padrão) satisfaz as seguintes propriedades:


− W0 = 0 com probabilidade 1.
− Para t > 0, Wt tem distribuição normal com média 0 e variância ��.
− Para s, t > 0, Wt+s − Ws tem a mesma distribuição de Wt.
− Se 0 ≤ q ≤ r ≤ s < t, então Wt − Ws e Wr − Wq são variáveis aleatórias independentes.
− A função t → Wt é contínua com probabilidade 1.


Considerando as propriedades apresentadas, a média e a variância de Ws + Wt são, respectivamente,

  1. 1 e st
  2. 0 e 3s + t
  3. 1 e s + t
  4. 0 e s + 3t
  5. 0 e (st)2
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Gabarito

B

Comentário do professor

Média: pelo linearidade da expectativa, \(E[W_s+W_t]=E[W_s]+E[W_t]\). Como cada \(W_u\) tem média zero, vem \(E[W_s+W_t]=0\).

Variância: usar a identidade \(Var(W_s+W_t)=Var(W_s)+Var(W_t)+2\,Cov(W_s,W_t)\). Sabemos \(Var(W_s)=s\) e \(Var(W_t)=t\), resta calcular a covariância.

Como \(E[W_s]=E[W_t]=0\), \(Cov(W_s,W_t)=E[W_sW_t]\). Escrevendo \(W_t=(W_t-W_s)+W_s\) obtemos

\(Cov(W_s,W_t)=E[W_s(W_t-W_s)]+E[W_s^2]\). Pelas propriedades de independência dos incrementos, \(W_s\) é independente de \(W_t-W_s\), logo \(E[W_s(W_t-W_s)]=E[W_s]E[W_t-W_s]=0\). Assim \(Cov(W_s,W_t)=E[W_s^2]=Var(W_s)=s\).

Portanto \(Var(W_s+W_t)=s+t+2s=3s+t\). Logo, média 0 e variância \(3s+t\).

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