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Questão FC372055

Pedro e João estão competindo em uma corrida. Seja Xt a quantidade de tempo (em segundos) em que Pedro estaria à frente de João quando 100t% da corrida estiver concluída, 0 \(\le\)

Processos Estocásticos

FCC · 2022

Pedro e João estão competindo em uma corrida. Seja Xt a quantidade de tempo (em segundos) em que Pedro estaria à frente de João quando 100t% da corrida estiver concluída, 0 \(\le\) t \(\le\) 1. Assuma que (Xt)0 \(\le\) t \(\le\) 1 é modelado como um movimento browniano com “drift” da forma Xt = \(μ\)t + \(σ\)Bt, t ≥ 0, onde Bt é o movimento browniano padrão com distribuição N(0, t). Seja o parâmetro “drift” \(μ\) = 0 e a variância \(σ\)2.

 

Considere a tabela correspondente à curva normal padrão (Z) para a probabilidade P( Z z)

 

Z

 0,5 1 1,5

2,0

P( Z \(\le\) z)

 0,691 0,841 0,933

0,977
 

Se Pedro está liderando por \(^σ/_2\) quando \(^3/_4\) da corrida está completada, a probabilidade de Pedro vencer é

  1. 0,691
  2. 0,309
  3. 0,933
  4. 0,841
  5. 0,067
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Gabarito

D

Comentário do professor

O processo é \(X_t=σB_t\) porque o drift \(μ=0\). Ao tempo \(t=\tfrac{3}{4}\) temos \(X_{3/4}=σ/2\), logo \(\;B_{3/4}=\tfrac{1}{2}\).

Queremos \(P(X_1>0\mid B_{3/4}=\tfrac{1}{2})=P(B_1>0\mid B_{3/4}=\tfrac{1}{2})\). Pela independência dos incrementos, defina \(Y=B_1-B_{3/4}\).

Temos \(Y\sim N(0,\,1-3/4)=N(0,1/4)\). Assim \(B_1=B_{3/4}+Y=\tfrac{1}{2}+Y\), e

\(P(B_1>0\mid B_{3/4}=\tfrac{1}{2})=P\big(Y>-\tfrac{1}{2}\big)=P\!\Big(\frac{Y}{1/2}>-1\Big)=P(Z>-1)\), com \(Z\sim N(0,1)\).

Pela tabela padrão, \(P(Z>-1)=P(Z\le 1)=0{,}841\). Portanto, a probabilidade é 0,841.

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