Considere as variáveis aleatórias \(X_1\) e \(X_2\) com matriz de covariância \(\sum=\begin{pmatrix}5 & 2 \\2 & 2 \end{pmatrix}\). Em uma análise de componentes principais, as prop

Gabarito

B

Comentário do professor

Comece por notar que a matriz de covariância é simétrica, então os componentes principais são obtidos a partir dos autovalores de \(\Sigma\). Calculamos o polinômio característico: \(|\Sigma-\lambda I|=(5-\lambda)(2-\lambda)-2\cdot2=\lambda^2-7\lambda+6\).

Resolvendo \(\lambda^2-7\lambda+6=0\) obtemos os autovalores \(\lambda_1=6\) e \(\lambda_2=1\). Uma checagem rápida é ver que a soma dos autovalores é o traço da matriz: \(5+2=7\).

A proporção explicada por cada componente é o autovalor dividido pela soma dos autovalores. Assim, para \(Y_1\): \(\dfrac{6}{6+1}=\dfrac{6}{7}\).
Para \(Y_2\): \(\dfrac{1}{6+1}=\dfrac{1}{7}\).