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Questão FC372057

Em uma análise de componentes principais, suponha que as variáveis aleatórias X1, X2, X3 têm matriz de covariância \(Σ=\begin{bmatrix}1&-2&0\\-2&5&0\\0&0&2 \end{bmatrix}\) Sejam Y1

Análise Multivariada

FCC · 2022

Em uma análise de componentes principais, suponha que as variáveis aleatórias X1, X2, X3 têm matriz de covariância

 

\(Σ=\begin{bmatrix}1&-2&0\\-2&5&0\\0&0&2 \end{bmatrix}\)

 

Sejam Y1, Y2, Y3 os componentes principais. A soma das variâncias de Y1, Y2 e Y3 é dada por

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Gabarito

D

Comentário do professor

A soma das variâncias das componentes principais \(Y_1,Y_2,Y_3\) é igual à soma dos autovalores da matriz de covariância \(Σ\), pois as variâncias de cada \(Y_i\) são precisamente os autovalores de \(Σ\).

Outra forma curta: uma transformação ortogonal (que define as componentes principais) preserva a variância total; portanto a soma das variâncias das \(Y_i\) é o traço de \(Σ\) (soma dos elementos da diagonal).

Calculando o traço: \( \operatorname{tr}(Σ)=1+5+2=8\). Logo, a soma das variâncias é 8.

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