Questão FC513479
Considerando uma amostra aleatória simples \(X_1, \, ... \, , X_n\) extraída de uma distribuição uniforme contínua no intervalo \([a, a \, + \, 1],\) em que \(a \, \in \, \mathbb{R
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2025
Considerando uma amostra aleatória simples \(X_1, \, ... \, , X_n\) extraída de uma distribuição uniforme contínua no intervalo \([a, a \, + \, 1],\) em que \(a \, \in \, \mathbb{R},\) julgue o seguinte item, a respeito da estatística \(M_k \, = \, n^{-1} \, \sum^{n}_{i=1} \, X^k_i,\) para \(K \, > \, 0.\)
À medida que \(n \, \to \, + \, \infty,\) se \(a \, = \, -1/2, \, \sqrt {M_2}\) converge em probabilidade para 1.
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
A afirmação é errada porque \(M_2=n^{-1}\sum_{i=1}^n X_i^2\) é a média amostral dos quadrados; pelo Teorema da Lei dos Grandes Números, \(M_2\) converge em probabilidade para \(E(X^2)\).
Para \(a=-\tfrac{1}{2}\) temos \(X_i\sim\) uniforme em \([-\tfrac12,\tfrac12]\), logo cada \(X_i^2\) está em \([0,\tfrac14]\). Assim \(\sqrt{M_2}\le \tfrac12\) para todo \(n\), portanto \(\sqrt{M_2}\) não pode convergir para 1.
Calculando o valor de limite: \(E(X)=0\) por simetria e \(\mathrm{Var}(X)=\tfrac{(1)^2}{12}=\tfrac{1}{12}\), daí \(E(X^2)=\tfrac{1}{12}\). Logo \(M_2\overset{p}{\to}\tfrac{1}{12}\) e \(\sqrt{M_2}\overset{p}{\to}\tfrac{1}{\sqrt{12}}\), não para 1.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em