Questão FC513480
Considerando uma amostra aleatória simples \(X_1, \, ... \, , X_n\) extraída de uma distribuição uniforme contínua no intervalo \([a, a \, + \, 1],\) em que \(a \, \in \, \mathbb{R
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2025
Considerando uma amostra aleatória simples \(X_1, \, ... \, , X_n\) extraída de uma distribuição uniforme contínua no intervalo \([a, a \, + \, 1],\) em que \(a \, \in \, \mathbb{R},\) julgue o seguinte item, a respeito da estatística \(M_k \, = \, n^{-1} \, \sum^{n}_{i=1} \, X^k_i,\) para \(K \, > \, 0.\)
\(E [M_k] \, = \, a \, + \, 0,5.\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A estatística E[M_k] é o valor esperado do momento de ordem \(k\), pois \(M_k=n^{-1}\sum_{i=1}^n X_i^k\) e, por linearidade, \(E[M_k]=E[X^k]\).
Para a distribuição uniforme em \([a,a+1]\) a densidade vale 1, então \(E[X^k]=\int_a^{a+1} x^k\,dx=\dfrac{(a+1)^{k+1}-a^{k+1}}{k+1}.\)
Essa expressão, em geral, não simplifica para \(a+0,5\). O único caso em que coincide é quando \(k=1\), pois \(\dfrac{(a+1)^2-a^2}{2}=a+\tfrac{1}{2}.\)
Portanto a afirmação é ERRADO para \(k>0\) em geral; só é verdadeira no caso específico \(k=1\).
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