Considerando uma amostra aleatória simples \(X_1, \, ... \, , X_n\) extraída de uma distribuição uniforme contínua no intervalo \([a, a \, + \, 1],\) em que \(a \, \in \, \mathbb{R

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A estatística \(M_1=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\) é a média amostral, não uma simples observação.

Para variáveis independentes, vale \(\displaystyle Var(M_1)=Var\!\left(\frac{\sum X_i}{n}\right)=\frac{1}{n^2}Var\!\left(\sum X_i\right)=\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}\), ou seja, a variância da média depende de \(n\).

Na distribuição uniforme em \([a,a+1]\) a variância populacional é \(\sigma^2=\dfrac{(a+1-a)^2}{12}=\dfrac{1}{12}\). Assim \(\displaystyle Var(M_1)=\frac{1/12}{n}=\frac{1}{12n}\), e não \(1/12\).

Portanto a afirmação é errada porque ignorou o fator \(1/n\) que reduz a variância da média com o aumento da amostra.