Questão FC513489
O número diário de solicitações registradas no serviço de protocolo de certo órgão, denotado por N, segue uma distribuição de Poisson com média igual a 10. Em cada dia, a quantidad
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2025
O número diário de solicitações registradas no serviço de protocolo de certo órgão, denotado por N, segue uma distribuição de Poisson com média igual a 10. Em cada dia, a quantidade \(Q\) de solicitações protocoladas que tratam de requisição de informações segue uma distribuição condicional na forma \(P (Q \, = \, q \mid \, N \, = \, n) \, = \, \dfrac {1} {2^n}. \begin {pmatrix} n \\ q \end {pmatrix},\) em que \(q \, \in \, \{0,1, \, ... \, , \, n \}.\)
Com base nessas informações, julgue o próximo item.
\(P(N \, = \, n \mid Q \, = \, q) \, = \, \dfrac {e^{-5}} {(n-q)!}. \, 5^{n-q},\) para \(n \, \ge \, q.\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Temos \(N\sim\) Poisson(10) e, condicionalmente, \(Q\mid N=n\sim\) Binomial(\(n,1/2\)), pois \(P(Q=q\mid N=n)=\dfrac{1}{2^n}\binom{n}{q}\). Pelo resultado do “thinning”, a marginal de \(Q\) é Poisson com parâmetro \(10\cdot\frac{1}{2}=5\), isto é \(P(Q=q)=\dfrac{e^{-5}5^q}{q!}\).
Aplicando o Teorema de Bayes: \(P(N=n\mid Q=q)=\dfrac{P(Q=q\mid N=n)P(N=n)}{P(Q=q)}.\)
Substituindo as funções: \(\dfrac{\dfrac{1}{2^n}\binom{n}{q}\dfrac{e^{-10}10^n}{n!}}{\dfrac{e^{-5}5^q}{q!}} =\dfrac{e^{-5}5^{\,n-q}}{(n-q)!},\) para \(n\ge q\).
Portanto a expressão dada está correta.
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