Questão FC513491
O número diário de solicitações registradas no serviço de protocolo de certo órgão, denotado por N, segue uma distribuição de Poisson com média igual a 10. Em cada dia, a quantidad
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2025
O número diário de solicitações registradas no serviço de protocolo de certo órgão, denotado por N, segue uma distribuição de Poisson com média igual a 10. Em cada dia, a quantidade \(Q\) de solicitações protocoladas que tratam de requisição de informações segue uma distribuição condicional na forma \(P (Q \, = \, q \mid \, N \, = \, n) \, = \, \dfrac {1} {2^n}. \begin {pmatrix} n \\ q \end {pmatrix},\) em que \(q \, \in \, \{0,1, \, ... \, , \, n \}.\)
Com base nessas informações, julgue o próximo item.
\(E[Q] \, = \, 5.\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
A afirmativa é correta porque a condicional dada é uma Binomial: \(P(Q=q\mid N=n)=\dfrac{1}{2^n}\binom{n}{q}\) identifica \(Q\mid N=n\sim\text{Binomial}(n,p=1/2)\).
Pelo resultado de "thinning" de Poisson, se \(N\sim\text{Poisson}(\lambda)\) e, condicionalmente, \(Q\mid N=n\sim\text{Binomial}(n,p)\), então a margem de \(Q\) é \(\text{Poisson}(\lambda p)\). Aqui \(\lambda=10\) e \(p=1/2\), logo \(Q\sim\text{Poisson}(5)\).
Alternativamente, usando esperança condicional: \(E[Q]=E[E(Q\mid N)]=E[N\cdot p]=pE[N]=(1/2)\cdot 10=5\). Portanto \(E[Q]=5\).
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