O número diário de solicitações registradas no serviço de protocolo de certo órgão, denotado por N, segue uma distribuição de Poisson com média igual a 10. Em cada dia, a quantidad

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Temos N ~ Poisson(λ=10) e a condicional dada é a de uma distribuição Binomial com parâmetros \(n\) e \(p=1/2\), pois \(P(Q=q\mid N=n)=\binom{n}{q} (1/2)^n\).

Calcule a marginal: \(P(Q=q)=\sum_{n=q}^{\infty} P(Q=q\mid N=n)P(N=n)\). Substituindo as f.p. binomial e de Poisson e reorganizando, obtém-se \(P(Q=q)=\sum_{n=q}^{\infty}\binom{n}{q}(1/2)^n e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}\) que reduz a \(e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^q}{q!}\). Isto é a f.p. de uma distribuição Poisson com parâmetro \(\lambda p\). Aqui \(\lambda p=10\cdot\frac{1}{2}=5\), logo \(Q\sim\) Poisson(5).