Julgue o item a seguir, relativos à análise multivariada. A função densidade de probabilidade de um vetor aleatório com dois elementos e que segue uma distribuição normal bivariada

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação está errada porque a densidade de uma normal bivariada não forma uma esfera no espaço das observações. A função densidade é uma superfície em 3D com formato de sino (uma "colina" gaussiana), descrita por \(f(x)=\frac{1}{2\pi|\Sigma|^{1/2}}\exp\!\left(-\tfrac{1}{2}(x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu)\right)\).

Os conjuntos de pontos com mesma densidade satisfazem \((x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu)=c\), que são, em geral, elipses centradas em \(\mu\). A forma dessas elipses depende da matriz de covariância \(\Sigma\).

Somente no caso especial em que \(\Sigma=\sigma^2 I\) as elipses tornam-se círculos, o que ainda assim corresponde a contornos circulares no plano, não a uma esfera tridimensional. Portanto, dizer que a densidade terá formato de esfera é incorreto.