Julgue o item a seguir, relativos à análise multivariada. Na distribuição normal multivariada, os contornos da função densidade de probabilidade são elipsoides.

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A afirmação é certa porque a função densidade da normal multivariada tem a forma \(f(x)=\frac{1}{(2\pi)^{k/2}|\Sigma|^{1/2}}\exp\!\big(-\tfrac{1}{2}(x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu)\big)\).

Os contornos são as curvas de nível onde a densidade é constante. Isso equivale a fixar o expoente, ou seja \((x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu)=c\), para alguma constante \(c>0\).

Essa equação é uma forma quadrática centrada em \(\mu\). Conjuntos definidos por uma forma quadrática igual a constante são elipsoides. A direção dos eixos do elipsoide vem dos autovetores de \(\Sigma\) e os comprimentos dos semi-eixos dependem das autovalores.

No caso particular \(\Sigma=\sigma^2 I\) os elipsoides tornam-se esferas (ou círculos em 2D), o que confirma a relação entre covariância e a forma elipsoidal dos contornos.