Julgue o item a seguir, relativos à análise multivariada. A função densidade de probabilidade relativa à distribuição normal multivariada é bimodal.

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação está errada porque a densidade da normal multivariada possui uma única moda, não duas.

A função densidade é \(f(\mathbf{x})=(2\pi)^{-n/2}|\mathbf{\Sigma}|^{-1/2}\exp\!\big(-\tfrac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})' \mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\big)\).

O expoente é uma forma quadrática negativa definida quando \(\mathbf{\Sigma}\) é definida positiva, logo a log-densidade é estritamente concava e atinge máximo único em \(\boldsymbol{\mu}\). Isso garante que a distribuição seja unimodal, com a moda coincidente com o vetor de médias \(\boldsymbol{\mu}\).

Em caso de \(\mathbf{\Sigma}\) singular a densidade está concentrada em um subespaço afim, mas a moda continua localizada em \(\boldsymbol{\mu}\) dentro desse subespaço.