Julgue o item a seguir, relativos à análise multivariada. A função densidade de probabilidade relativa à distribuição normal multivariada é simétrica.

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A afirmação é certa porque a função densidade da normal multivariada depende apenas da diferença \((\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\) por meio de uma forma quadrática. A densidade é
\(f(\mathbf{x})=\dfrac{1}{(2\pi)^{k/2}|\mathbf{\Sigma}|^{1/2}}\exp\!\big(-\tfrac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^\top\mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\big)\).

Para qualquer vetor \(\mathbf{v}\) vale \((\mathbf{v})^\top\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{v}=(-\mathbf{v})^\top\mathbf{\Sigma}^{-1}(-\mathbf{v})\), portanto \(f(\boldsymbol{\mu}+\mathbf{v})=f(\boldsymbol{\mu}-\mathbf{v})\). Isso mostra a simétrica em torno do vetor de médias \(\boldsymbol{\mu}\).

Observação: a expressão acima assume que a matriz de covariâncias \(\mathbf{\Sigma}\) é definida (positiva definida), e a densidade é função da distância de Mahalanobis ao centro, o que reforça a simetria.