Questão FC513521
Uma análise multivariada que está sendo realizada envolve quatro variáveis padronizadas Z1, Z2, Z3 e Z4, constituídas por duzentos registros administrativos. Para a identificação d
Análise Multivariada
CEBRASPE (CESPE) · 2025
Uma análise multivariada que está sendo realizada envolve quatro variáveis padronizadas Z1, Z2, Z3 e Z4, constituídas por duzentos registros administrativos. Para a identificação de estruturas latentes e a redução da dimensionalidade do problema, foram aplicadas a análise de componentes principais (ACP) e a análise fatorial exploratória (AFE) com extração por componentes principais. A seguir, são mostrados os autovalores para as componentes principais, que resultaram da decomposição espectral da matriz de correlações, bem como as cargas fatoriais não rotacionadas dos dois primeiros fatores extraídos.
| \(\lambda_1\) | \(\lambda_2\) | \(\lambda_3\) |
| 2,3 | 0,7 | 0,5 |
| variável | fator 1 | fator 2 |
| Z1 | 0,80 | 0,10 |
| Z2 | 0,75 | 0,30 |
| Z3 | 0,60 | 0,55 |
| Z4 | 0,10 | 0,85 |
Com base nessas informações, julgue o próximo item.
O quarto autovalor \((\lambda_4)\) deve ser igual a zero.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A afirmação foi julgada ERRADO porque confunde propriedades da decomposição espectral de uma matriz de correlações. Para variáveis padronizadas, cada variável tem variância 1, logo a variância total é o número de variáveis. Assim, a soma dos autovalores da matriz de correlações é igual ao traço dessa matriz, isto é, ao número de variáveis.
No caso há quatro variáveis padronizadas, portanto \( \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=4\). Substituindo os valores conhecidos: \(2{,}3+0{,}7+0{,}5+\lambda_4=4\), daí \( \lambda_4=0{,}5\).
Além disso, sendo a matriz de correlações positiva semidefinida, seus autovalores são \(\ge 0\). Um autovalor igual a zero só ocorreria se houvesse dependência linear exata entre variáveis, o que não é indicado pelos demais autovalores apresentados.
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