Questão FC513532
Considerando uma amostra aleatória simples \(X_1, \, ... \, , X_n\) extraída de uma distribuição uniforme contínua no intervalo \([a, a \, + \, 1],\) em que \(a \, \in \, \mathbb{R
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CEBRASPE (CESPE) · 2025
Considerando uma amostra aleatória simples \(X_1, \, ... \, , X_n\) extraída de uma distribuição uniforme contínua no intervalo \([a, a \, + \, 1],\) em que \(a \, \in \, \mathbb{R},\) julgue o seguinte item, a respeito da estatística \(M_k \, = \, n^{-1} \, \sum^{n}_{i=1} \, X^k_i,\) para \(K \, > \, 0.\)
De acordo com a lei fraca dos grandes números, se \(a \, = \, 0, \, M_k\) converge em probabilidade para \((k \, + \, 1)^{-1}\) à medida que \(n \, \to \, + \, \infty.\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
M_k é a média amostral das variáveis \(Y_i=X_i^k\), com \(X_i\) iid Uniforme\([0,1]\) quando \(a=0\). Como \(k>0\), as \(Y_i\) são limitadas e têm esperança finita.
Pela lei fraca dos grandes números, a média amostral converge em probabilidade para a esperança comum: \(M_k \xrightarrow{p} E[X^k]\) quando \(n\to\infty\).
Calculando a esperança para a uniforme em \([0,1]\): \(E[X^k]=\int_0^1 x^k dx=\dfrac{1}{k+1}\). Portanto, \(M_k\) converge em probabilidade para \((k+1)^{-1}\), o que justifica o julgamento CERTO.
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