Questão FC513533
Considerando uma amostra aleatória simples \(X_1, \, ... \, , X_n\) extraída de uma distribuição uniforme contínua no intervalo \([a, a \, + \, 1],\) em que \(a \, \in \, \mathbb{R
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CEBRASPE (CESPE) · 2025
Considerando uma amostra aleatória simples \(X_1, \, ... \, , X_n\) extraída de uma distribuição uniforme contínua no intervalo \([a, a \, + \, 1],\) em que \(a \, \in \, \mathbb{R},\) julgue o seguinte item, a respeito da estatística \(M_k \, = \, n^{-1} \, \sum^{n}_{i=1} \, X^k_i,\) para \(K \, > \, 0.\)
À medida que \(n \, \to \, + \infty, \, M_3\) converge em distribuição para uma distribuição normal.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
\(M_3 = n^{-1}\sum_{i=1}^n X_i^3\) é a média amostral das variáveis \(Y_i=X_i^3\), com \(X_i\) iid uniformes em \([a,a+1]\).
Pelo Teorema do Limite Central, a média de variáveis iid com variância finita é assintoticamente normal. Aplicamos o TLC às \(Y_i\).
Como \(X_i\in[a,a+1]\), os \(Y_i=X_i^3\) são limitados e, portanto, têm momentos de primeira e segunda ordem finitos. Logo, a hipótese de variância finita do TLC é satisfeita.
Conclui-se que \(M_3\) é assintoticamente normal
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