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Questão FC543762

Considere que Z1, … , Zn represente uma amostra aleatória simples, de tamanho n, retirada de uma distribuição normal padrão. Nesse caso, à medida que n aumenta, a média \(\frac 1 n

Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central

CEBRASPE (CESPE) · 2025

Considere que Z1, … , Zn represente uma amostra aleatória simples, de tamanho n, retirada de uma distribuição normal padrão. Nesse caso, à medida que n aumenta, a média \(\frac 1 n \sum^n_{i = 1} Z^3_i\) converge em probabilidade para

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Gabarito

A

Comentário do professor

Pelo Teorema da Lei dos Grandes Números, a média amostral \( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Z_i^3 \) converge em probabilidade para o valor esperado da variável \(Z^3\): \( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Z_i^3 \stackrel{p}{\longrightarrow} E[Z^3]\).

Como \(Z\) tem distribuição normal padrão, todos os momentos são finitos e a função \(x\mapsto x^3\) é integrável, garantindo validade da Lei.

Além disso, a normal padrão é simétrica em torno de zero, logo todo momento de ordem ímpar é nulo. Assim \(E[Z^3]=0\).

Conclui-se que \( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Z_i^3 \) converge em probabilidade para \(0\), razão da alternativa correta.

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