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Questão FC571832

Em um estudo sobre a durabilidade de engrenagens sob condições de alta carga, o tempo até a falha (em milhares de ciclos) de 50 engrenagens foi modelado como uma distribuição expon

Intervalos de Confiança

FCC · 2025

Em um estudo sobre a durabilidade de engrenagens sob condições de alta carga, o tempo até a falha (em milhares de ciclos) de 50 engrenagens foi modelado como uma distribuição exponencial. A média amostral do tempo até a falha foi de 50 mil ciclos. O intervalo de confiança de 99% para a taxa de falha populacional (λ - em falhas por mil ciclos) utilizando 

 

\(\begin{cases} X^2_{0,5 \%} (100) \approx 67,0 \\ X^2_{99,5\%} (100) \approx 140,0 \end{cases}\) ou \(\begin{cases} X^2_{0,5 \%} (50) \approx 28,0 \\ X^2_{99,5\%} (50) \approx 80,0 \end{cases}\) é

  1. [0,0134;0,0280]
  2. [0,0167;0,0273]
  3. [0,0142;0,0295]
  4. [0,0125;0,0302]
  5. [0,0178;0,0264]
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Gabarito

A

Comentário do professor

Modelo e dados: para variáveis exponenciais independentes, a soma \(S=\sum_{i=1}^n X_i\) satisfaz que \(2\lambda S\) segue \(\chi^2\) com \(2n\) graus de liberdade. Aqui \(n=50\) e \(\bar X=50\), logo \(S=n\bar X=2500\) (em milhares de ciclos).

Construção do intervalo: tomando nível de confiança 99% (\(\alpha=0{,}01\)), tem-se \(P\big(\chi^2_{2n,\alpha/2}\le 2\lambda S\le\chi^2_{2n,1-\alpha/2}\big)=0{,}99\). Isolando \(\lambda\) obtemos \(\lambda\in\left[\dfrac{\chi^2_{2n,\alpha/2}}{2S},\dfrac{\chi^2_{2n,1-\alpha/2}}{2S}\right].

Cálculo numérico: com \(2n=100\), \(\chi^2_{0{,}5\%}(100)\approx67\) e \(\chi^2_{99{,}5\%}(100)\approx140\). Assim \(\lambda\in\left[\dfrac{67}{2\cdot2500},\dfrac{140}{2\cdot2500}\right]=[0{,}0134;0{,}0280]\) (falhas por mil ciclos).

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