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Questão FC784027

Se a variável aleatória X tem distribuição normal com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\), ou seja, \(X\,\sim\,N ( \mu, \sigma^2), s^2 = { \large \sum_{i=1}^n ( x_i - \bar{x})^2

Principais Distribuições Contínuas

Instituto AOCP · 2024

Se a variável aleatória X tem distribuição normal com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\), ou seja, \(X\,\sim\,N ( \mu, \sigma^2), s^2 = { \large \sum_{i=1}^n ( x_i - \bar{x})^2 \over n-1}\) (variância amostral) é a estimativa de \(\sigma^2\) com base em uma amostra com n observações, [x1, x2, .... , xn]. Assim, a variável \(T = { \large X - \mu \over s}\) tem distribuição t de Student com n – 1 graus de liberdade, ou seja, \(T\,\sim\, t_{n-1}\). Nesse caso, sabendo que \(P (T \le -2) = 0,031973\), é correto afirmar que

  1. P(|T| ≤ 2,00) = 0,997021 e \(E(T) = { \large n \over n -2}\) se n > 2
  2. P(|T| ≤ 2,00) = 0,968027 e \(E(T) = { \large n \over n -2}\) se n > 2.
  3. P(|T| ≤ 2,00) = 0,936054 e E(T) = 0 se n > 1.
  4. P(|T| ≤ 2,00) = 0,997021 e E(T) = 1.
  5. P(|T| ≤ 2,00) = 0,968027 e E(T) = 1.
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

A variável \(T\) tem distribuição t de Student com \(n-1\) graus de liberdade e é simétrica em torno de zero. Assim, se \(P(T \le -2)=0{,}031973\), então também \(P(T \ge 2)=0{,}031973\).

O evento \(|T| \le 2\) corresponde à área entre \(-2\) e \(2\). Essa área é o complemento das duas caudas, logo

P(|T| ≤ 2) = \(1 - [P(T \le -2) + P(T \ge 2)] = 1 - 2\times 0{,}031973 = 0{,}936054\).

Quanto à esperança, a distribuição t é simétrica e sua média existe e vale zero quando os graus de liberdade são maiores que 1. Como os graus aqui são \(n-1\), temos E(T) = 0 para \(n>1\).

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