Questão FC92914
Considerando dois eventos aleatórios A e B, tais que P(A|B) = 1/3, P(B|A) = 0,5 e P(A∪B) = 0,8 julgue o seguinte item. P(A∩B) = 0,2.
Probabilidade
CEBRASPE (CESPE) · 2021
P(A∩B) = 0,2.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para resolver a questão proposta, vamos explorar as relações entre as probabilidades condicional e conjunta dos eventos A e B. Temos as seguintes informações:
P(A|B) = \frac{1}{3} e P(B|A) = 0,5. A partir da definição de probabilidade condicional, podemos expressar P(A|B) como:
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
Logo, se substituirmos a relação, obtemos:
\( \frac{1}{3} = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
Portanto, podemos rearranjar para encontrar P(B) em termos de P(A ∩ B):
\( P(B) = 3P(A \cap B) \).
De maneira semelhante, analisando P(B|A), temos:
\( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
A partir disso, substituindo a relação dada:
\( 0,5 = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
O que resulta em:
\( P(A) = 2P(A \cap B) \).
Agora, usando a relação da união dos eventos, que é dada por:
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \), e sabendo que P(A ∪ B) = 0,8, substituímos as expressões de P(A) e P(B):
\( 0,8 = 2P(A \cap B) + 3P(A \cap B) - P(A \cap B) \)
Simplificando, encontramos:
\( 0,8 = 4P(A \cap B) \)
Resolvendo essa equação, obtemos:
\( P(A \cap B) = \frac{0,8}{4} = 0,2 \).
Assim, a afirmação P(A ∩ B) = 0,2 é de fato correta, confirmando o gabarito como CERTO.
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