Questão FC99402
Considerando que uma amostra aleatória simples U1…, Un seja retirada de uma distribuição uniforme contínua no intervalo 0,1, em que n é número ímpar, e considerando que Un denote a
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Para todo n suficientemente grande,
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Ao analisarmos uma amostra aleatória simples U1, …, Un retirada de uma distribuição uniforme contínua no intervalo [0, 1], onde n é um número ímpar, é fundamental compreender o comportamento da média amostral Un e da mediana amostral U~n. Para n suficientemente grande, encontramos uma relação intrigante: \text{Var}[U~_n] > \text{Var}[Ū_n].
A média amostral, Un, converge para a média da população, que nesse caso é \mu = \frac{0 + 1}{2} = 0.5, e tem variância dada por \text{Var}[Ū_n] = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{1/12}{n}. Por outro lado, a mediana amostral, U~n, também converge para a mesma média, mas sua variância é diferente, definida como \text{Var}[U~_n] = \frac{1}{4n f(0.5)^2} = \frac{1}{4n \cdot (1/2)^2} = \frac{1}{n}.
Aqui, f(0.5) representa a densidade da função de distribuição no ponto central. Assim, podemos ver que \frac{1}{4n} > \frac{1}{12n}, o que confirma que a variância da mediana amostral é maior que a da média amostral. Portanto, essa conclusão está correta: Var[U~_n] > Var[Ū_n], demonstrando que a variabilidade da mediana, para grandes amostras, supera a da média. Assim, o item está, de fato, CERTO.
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