Considerando que as variáveis aleatórias X e Y sejam normais, mutuamente independentes e identicamente distribuídas, e supondo que μ e σ representem, respectivamente, a média e o d

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação é errada porque, embora a diferença de duas normais independentes seja normal, a razão proposta não tem variância igual a 1.

Como \(X\) e \(Y\) são idênticas e independentes, \(E[X]=E[Y]=\mu\) e \(Var[X]=Var[Y]=\sigma^2\). Então o valor esperado da razão é\n
\(E\!\left[\frac{X-Y}{2\sigma}\right]=\frac{1}{2\sigma}(E[X]-E[Y])=\frac{\mu-\mu}{2\sigma}=0\).

Já a variância é\n
\(Var\!\left[\frac{X-Y}{2\sigma}\right]=\left(\frac{1}{2\sigma}\right)^2(Var[X]+Var[Y])=\frac{1}{4\sigma^2}(2\sigma^2)=\frac{1}{2}.\)

Portanto a variável é normal com média 0 e variância \(1/2\), não com variância 1, logo não se distribui como uma normal padrão.