Questão FC99414
Sabendo que Z1 e Z2 são cópias independentes de uma distribuição normal padrão e considerando a razão julgue o próximo item. A diferença D = Z1 - Z2 e a soma S = Z1 + Z2 são variáv
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2024
julgue o próximo item.A diferença D = Z1 - Z2 e a soma S = Z1 + Z2 são variáveis aleatórias normais independentes.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A afirmação é CERTA e vamos entender por que isso ocorre de um modo bastante elucidativo. Primeiro, lembramos que quando lidamos com variáveis aleatórias normais, qualquer combinação linear delas também resultará em uma nova variável aleatória que segue uma distribuição normal. Assim, ao considerar Z1 e Z2 como variáveis aleatórias independentes que seguem a distribuição normal padrão, podemos analisar suas combinações:
A diferença \( D = Z_1 - Z_2 \) e a soma \( S = Z_1 + Z_2 \) são ambas combinações lineares de variáveis normais. Portanto, automaticamente sabemos que tanto \( D \) quanto \( S \) se distribuem normalmente.
Em relação à independência, um aspecto interessante surge: a covariância de duas variáveis aleatórias é um indicador direto da sua independência. Se a covariância entre duas variáveis for zero, isso implica que elas são independentes. Vamos calcular a covariância \( cov(D, S) \):
\[ cov(D, S) = cov(Z_1 - Z_2, Z_1 + Z_2) \]
Aplicando a propriedade da covariância:
\[ cov(D, S) = cov(Z_1, Z_1) + cov(Z_1, Z_2) - cov(Z_2, Z_1) - cov(Z_2, Z_2) \]
A partir de variações nos termos, lembramos que \( cov(Z_1, Z_1) \) e \( cov(Z_2, Z_2) \) representam as variâncias de \( Z_1 \) e \( Z_2 \), que são iguais a 1, enquanto que as covariâncias entre variáveis independentes são zero. Portanto, temos:
\( cov(D, S) = 1 + 0 - 0 - 1 = 0 \)
Como a covariância é zero, concluímos que \( D \) e \( S \) são independentes. Portanto, tanto a soma quanto a diferença de duas variáveis normais independentes seguem também a distribuição normal e são independentes. Assim, a resposta para a questão é indiscutivelmente CERTA.
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