Questão FC99416
Considerando uma amostra aleatória simples X1,⋯,Xn retirada de uma população normal com média 1 e variância 2, julgue o seguinte item, acerca da soma ponderada A razão segue uma di
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2024
A razão
segue uma distribuição t de Student com −1 graus de liberdade.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação apresentada é ERRADA e vamos esclarecer os porquês de forma didática.
Para começar, consideramos uma amostra de variáveis aleatórias \(X_1, \ldots, X_n\) que seguem uma distribuição normal com média 1 e variância 2. A média amostral dessas variáveis, denotada por \( \bar{X} \), é uma distribuição normal \(N(1, \frac{2}{n})\).
Contudo, o enunciado confunde um aspecto crucial: a soma ponderada mencionada não é a média amostral, mas sim uma combinação linear das amostras. Para corretamente avaliar a razão apresentada, deveríamos utilizar a distribuição normal padrão, uma vez que a fórmula \(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\) se relaciona com a normalidade das variáveis.
Além disso, é essencial lembrar que a distribuição \(t\) de Student é aplicável apenas quando temos que lidar com um desvio padrão populacional desconhecido e o substituímos pelo desvio padrão amostral. Como neste caso lidamos com uma população normal onde a variância é conhecida (2), essa substituição não é necessária, levando-nos a concluir que a razão mencionada segue uma distribuição normal padrão e não uma \(t\) de Student. Portanto, a resposta correta é, sem dúvida, a de que a razão não possui -1 graus de liberdade e não segue uma distribuição \(t\).
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