Questão FC99417
Considerando uma amostra aleatória simples X1,⋯,Xn retirada de uma população normal com média 1 e variância 2, julgue o seguinte item, acerca da soma ponderada Sn segue uma distrib
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Sn segue uma distribuição normal para qualquer tamanho de amostra n ≥ 1.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para entender por que a afirmação é verdadeira, precisamos ter em mente que todas as variáveis aleatórias que provêm de uma população normal possuem uma propriedade especial. Neste caso, temos a amostra aleatória simples \(X_1, \ldots, X_n\) oriunda de uma população normal com média 1 e variância 2.
Quando falamos de uma soma ponderada como \(S_n = \sum_{k=1}^{n} 0,5_n X_k\), estamos lidando com uma combinação linear das variáveis aleatórias \(X_k\).
Uma das regras fundamentais da teoria das probabilidades é que, mesmo quando combinamos variáveis independentes que seguem a distribuição normal, o resultado dessa combinação também segue a distribuição normal, independentemente do número de variáveis que utilizamos.
Portanto, não importa se a nossa amostra tem apenas um elemento ou é muito maior; como essas variáveis são todas normais e independentes, podemos afirmar com segurança que \(S_n\) segue uma distribuição normal para qualquer \(n \geq 1\).
Deste modo, a resposta dada está CERTA.
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