Considerando que X e Y sigam distribuições normais padrão e que a correlação linear entre ambas seja igual a −1, julgue o seguinte item. A soma X + Y segue distribuição normal com

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Explicação: Como \(X\) e \(Y\) são padrão, \(E(X)=E(Y)=0\) e \(\sigma_X=\sigma_Y=1\). A correlação \(\rho=-1\) implica que a covariância vale \(\text{Cov}(X,Y)=\rho\,\sigma_X\sigma_Y=-1\).

A variância da soma é \(\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+2\text{Cov}(X,Y)=1+1+2(-1)=0\). Como a variância é zero, \(X+Y\) é almost surely constante igual à média, isto é, \(X+Y=0\) com probabilidade 1.

Portanto a soma não tem distribuição normal com variância 2, ela é uma variável degenerada em zero. A pegadinha seria confundir com o caso independente, quando a covariância seria zero e a variância da soma seria 2.