Considerando que X e Y sigam distribuições normais padrão e que a correlação linear entre ambas seja igual a −1, julgue o seguinte item. P(X > 0) + P(Y ≤ 0) = 1.

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A afirmação é certa porque correlação linear igual a -1 entre duas normais padrão implica relação determinística e linear entre elas.

Como ambas têm média 0 e variância 1, existe \(a,b\) tais que \(Y=a+bX\). Pela média zero vem \(a=0\), e pela variância \(1=b^2\), logo \(b=\pm1\). A correlação \(-1\) determina o sinal negativo, portanto \( \mathbf{Y=-X} \) quase certamente.

Pela simetria da normal padrão vale \( \mathbf{P(X>0)=0,5} \). Usando \(Y=-X\) temos \(P(Y\le 0)=P(-X\le 0)=P(X\ge 0)\).

Como a distribuição é contínua, \(P(X=0)=0\), então \(P(X\ge 0)=P(X>0)=0,5\). Portanto \(P(X>0)+P(Y\le 0)=0,5+0,5=1\).