Questão FC99429
Considerando que X1, X2, X3, X4 represente uma amostra aleatória simples retirada de uma população normal padrão, julgue o item a seguir. A soma X1 + X2 + X3 + X4 segue a distribui
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2022
A soma X1 + X2 + X3 + X4 segue a distribuição normal com média nula e desvio padrão igual a 4.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos dissecar a afirmação sobre a soma \( X_1 + X_2 + X_3 + X_4 \) que, de acordo com o enunciado, seria uma variável normal com média nula e desvio padrão igual a 4. Vamos conferir essa informação!
Primeiramente, os \( X_i \) são variáveis aleatórias que seguem a distribuição normal padrão, o que significa que cada uma possui média igual a 0 e variância igual a 1. Agora, para determinar as propriedades da soma de variáveis normais independentes, precisamos lembrar de duas regras fundamentais:
1) A média da soma é a soma das médias;
2) A variância da soma é a soma das variâncias.
Portanto, a média da soma \( X_1 + X_2 + X_3 + X_4 \) será:
\( E[X_1 + X_2 + X_3 + X_4] = E[X_1] + E[X_2] + E[X_3] + E[X_4] = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \).
E agora, a variância da soma será:
\( Var[X_1 + X_2 + X_3 + X_4] = Var[X_1] + Var[X_2] + Var[X_3] + Var[X_4] = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \).
O detalhe crucial aqui é que, embora a soma tenha média nula e variância 4, a afirmação inicial diz que o desvio padrão é igual a 4. Porém, o desvio padrão é a raíz quadrada da variância, o que nos dá: \( \sqrt{4} = 2 \).
Portanto, a soma \( X_1 + X_2 + X_3 + X_4 \) segue uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão igual a 2, e não 4. Sendo assim, a resposta correta é, de fato, ERRADO.
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