Considerando que X1, X2, X3, X4 represente uma amostra aleatória simples retirada de uma população normal padrão, julgue o item a seguir. Para qualquer valor real c, tem-se

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: Para entender a afirmação apresentada, vamos analisar a média e a variância da média amostral Y = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{4} X_i, onde cada X_i é uma variável aleatória da distribuição normal padrão. Primeiro, sabemos que o valor esperado de Y é dada pela fórmula:

E[Y] = E\left[\frac{1}{4} (X_1 + X_2 + X_3 + X_4)\right] = \frac{1}{4}(E[X_1] + E[X_2] + E[X_3] + E[X_4]).

Como cada X_i tem distribuição normal padrão, temos E[X_i] = 0 para todos os i. Portanto, a média de Y será:

E[Y] = \frac{1}{4}(0 + 0 + 0 + 0) = 0.

Agora, vamos calcular a variância de Y. A variância segue dois princípios fundamentais: a constante sai ao quadrado e a variância da soma de variáveis independentes é a soma das variâncias:

Var[Y] = Var\left[\frac{1}{4}(X_1 + X_2 + X_3 + X_4)\right] = \frac{1}{16}(Var[X_1] + Var[X_2] + Var[X_3] + Var[X_4]).

Sendo que cada X_i tem variância igual a 1, então:

Var[Y] = \frac{1}{16}(1 + 1 + 1 + 1) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}.

Assim, Y tem média 0 e variância \(\frac{1}{4}\), o que indica que Y segue uma distribuição normal N(0, \frac{1}{4}) e não uma distribuição normal padrão como erroneamente poderia se pensar. Contudo, a questão pede a relação entre P(Y>c) e P(X_1<-c). Definindo um novo elemento que varre a distribuição, temos:

Como a normal é simétrica, isso nos leva a:

P(Y > c) = P\left(\frac{1}{4}(X_1 + X_2 + X_3 + X_4) > c\right) = P(X_1 < -c) \text{ para qualquer } c.

Portanto, a afirmação está correta, como indicado ao final do item. Gabarito: CERTO.