Questão FC99441
Considerando que X1, X2, X3, X4 representa uma amostra aleatória simples de tamanho n = 4 retirada de uma população normal com média μ e desvio padrão v, julgue os itens que se seg
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2022
segue a distribuição normal com média zero e variância igual a 2.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a variável aleatória W = \frac{X_1 - X_2}{v}, que resulta da diferença entre duas observações de uma distribuição normal padrãoizadas pela constante v. O primeiro passo é reconhecer que tanto X_1 quanto X_2 são variáveis que seguem a distribuição normal com média μ e variância v². Ao realizarmos operações lineares com variáveis normais, como a subtração, o resultado também é normalmente distribuído.
Ao calcular a expectativa de W, temos:
E[W] = E\left[\frac{X_1 - X_2}{v}\right] = \frac{E[X_1] - E[X_2]}{v} = \frac{μ - μ}{v} = 0.
Isso indica que a média da nova variável é zero.
Para encontrarmos a variância de W, utilizamos a propriedade da variância de combinações lineares:
Var[W] = Var\left[\frac{X_1 - X_2}{v}\right] = \frac{1}{v^2} \left(Var[X_1] + Var[X_2]\right) = \frac{1}{v^2} \left(v^2 + v^2\right) = \frac{2v^2}{v^2} = 2.
Portanto, concluímos que W é normalmente distribuído com média zero e variância 2, corroborando a afirmação inicial e confirmando que a resposta está CERTA.
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