Admitindo que X e Y são duas variáveis aleatórias normais padrão independentes, julgue o item a seguir. A média do produto XY é igual a zero.

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Como \(X\) e \(Y\) são variáveis normais padrão, temos \(\,E(X)=E(Y)=0\,\). Isso decorre da simetria da densidade normal em torno de zero.

Por serem independentes, a densidade conjunta fatoriza, portanto a esperança do produto se separa, ou seja \(E(XY)=E(X)E(Y)\). Em forma integral, \(E(XY)=\int\!\int x y\,f_X(x)f_Y(y)\,dx\,dy=(\int x f_X(x)\,dx)(\int y f_Y(y)\,dy)\).

Substituindo \(\,E(X)=0\) e \(\,E(Y)=0\), obtém-se \(E(XY)=0\cdot 0=0\). Alternativamente, pela simetria das distribuições, a função integrando \(x y\) é ímpar em relação a cada variável, o que também leva à média nula.