Questão FC99444
Considerando que X e Y sejam variáveis aleatórias que seguem a distribuição normal padrão, tais que E[(2X + Y)2] = 7, julgue o próximo item.
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2021
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
GABARITO (BANCA): ERRADO
Vamos entender por que a afirmação dada está equivocada. Sabemos que X e Y são variáveis aleatórias que seguem a distribuição normal padrão, ou seja, têm média 0 e variância 1. Quando analisamos a expressão E[(2X + Y)2], estamos lidando com uma combinação linear dessas variáveis normais. A média de 2X + Y é dada por E[2X + Y] = 2E[X] + E[Y] = 2 \cdot 0 + 0 = 0, e sua variância é calculada como Var(2X + Y) = Var(2X) + Var(Y) = 4Var(X) + Var(Y) = 4 \cdot 1 + 1 = 5. Ou seja, 2X + Y também se comporta como uma variável normal, e mais especificamente, segue uma normal com média 0 e variância 5.
Em geral, a expectativa do quadrado de uma variável normal é dada por E[Z^2] = Var(Z) + (E[Z])^2. Neste caso, isso resulta em E[(2X + Y)2] = Var(2X + Y) + (E[2X + Y])^2 = 5 + 0 = 5. Portanto, a afirmação original de que E[(2X + Y)2] = 7 é falsa. Consequentemente, a resposta correta está, de fato, ERRADA.
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