Questão FC99445
Considerando que X representa uma variável aleatória contínua cuja função de densidade de probabilidade é f(x) = exp (−πx2), na qual x ϵ R e π é constante matemática, julgue o segu
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2021
A variância de X é maior ou igual a 0,5.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Para entender a variância da variável aleatória contínua X com a função de densidade dada por f(x) = exp(−πx2), é interessante notar que essa função é uma forma de distribuição normal. Contudo, vamos aprofundar esse conceito.
A função de densidade de probabilidade da distribuição normal padrão é representada por f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}. Com base na função que temos, podemos fazer uma substituição para adaptar à forma padrão.
Ao escrever f(x) = e^{-πx^2}, podemos ver que a média μ é zero, já que não existe um termo que desloque x.
Agora, para estabelecer equivalência entre as funções, precisamos ajustar os coeficientes: ao comparamos, encontramos que \(\sigma = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\). Assim, a variância \(\sigma^2 = \frac{1}{2\pi}\).
Com a constante π sendo maior que 1, isso nos mostra que \(\frac{1}{2\pi} < 0.5\), indicando que a variância é, na verdade, menor que 0,5, o que torna a afirmação equivocada. Portanto, o gabarito está correto ao afirmar que a variância de X é menor que 0,5, ou seja, ERRADO.
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