Questão FC99447
Considerando que X representa uma variável aleatória contínua cuja função de densidade de probabilidade é f(x) = exp (−πx2), na qual x ϵ R e π é constante matemática, julgue o segu
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2021
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para compreender a afirmação à nossa frente, precisamos primeiramente analisar a função de densidade de probabilidade dada: \( f(x) = e^{-\pi x^2} \). Essa forma sugere que estamos diante de uma distribuição que tem características muito similares à distribuição normal, a famosa curva em forma de sino que frequentemente estudamos em Estatística.
Para começar a comparação, lembremos que a distribuição normal é expressa como: \( f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2} \). O próximo passo é manipular a função de densidade para ver como ela se assemelha à fórmula da normal. Para que \( f(x) = e^{-\pi x^2} \) represente uma distribuição normal, precisamos que a parte exponencial também contenha algo similar no formato, o que ocorre quando colocamos \( \mu = 0 \) e adequamos o termo de variância.
Ao igualar as duas expressões, notamos que \( \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} = 1 \) e \( \frac{1}{2} = \pi \), resultando em \( \sigma = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \). Assim, definimos que \( X \sim N\left(0, \frac{1}{2\pi}\right) \). Em uma distribuição normal centrada em zero, há uma simetria muito importante: \( P(X \geq x) = P(X < -x) \). Com isso, quando tomamos o logaritmo da razão \( \frac{P(X \geq x)}{P(X < -x)} = 1 \), resulta em \( \log(1) = 0 \). Portanto, a declaração que o enunciado apresenta é CERTA, pois confirma essa simetria da distribuição normal com média zero.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em