Questão FC99449
Considere uma amostra aleatória de tamanho n de variáveis aleatórias contínuas, Xi, independentes e identicamente distribuídas, com média μ e variância V finitas e desconhecidas. C
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Tendo como referência as informações apresentadas, julgue o item que se segue.
A distribuição amostral de
é normal com média p = P(X < b) e variância p(1 − p)/n para qualquer valor de n.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Para entender por que a afirmação é ERRADA, precisamos olhar mais de perto a definição das variáveis Yi. Estas são definidas como Yi = I(Xi < b), onde I é uma função indicadora que resulta em 1 se Xi < b é verdadeiro e 0 caso contrário. Isso nos mostra que Yi segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro p = P(X < b).
Quando consideramos a soma dessas variáveis, Σi=1nYi, este total se distribui segundo uma Binomial com parâmetros n e p, ou seja, Σi=1nYi ~ Binomial(n, p). É crucial lembrar que a aproximação dessa distribuição binomial pela normal só se aplica quando n é suficientemente grande, de acordo com o Teorema Central do Limite. Neste caso, Y amostral, que corresponde à média (1/n) Σi=1nYi, se aproxima de uma normal com média p e variância \(p(1 - p)/n\). Portanto, a afirmativa comete um engano ao resultar na conclusão de que a distribuição amostral de Y é normal para qualquer valor de n, desconsiderando a condição necessária de que n deve ser grande.
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