Questão FC99453
Uma amostra aleatória simples de tamanho n > 1 é retirada de uma distribuição exponencial com média \mu; tal amostra é representada pelo conjunto {W1, …,Wn} constituído por n variá
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Tendo como referência as informações precedentes, julgue o próximo item.
Para n suficientemente grande, a estatística
segue aproximadamente uma distribuição normal.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para entender por que a afirmação é CERTA, precisamos nos aprofundar na relação entre a amostra aleatória e as propriedades de convergência. Quando extraímos uma amostra aleatória simples de uma distribuição exponencial com uma média \( \mu \), cada variável \( W_k \) da amostra representa tempos até o evento de interesse. O estimador de máxima verossimilhança para \( \mu \) é dado pela média amostral inversa, ou seja, \( \frac{1}{\bar{X}} \), onde \( \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} W_k \).
De acordo com o Teorema Central do Limite, à medida que o tamanho da amostra \( n \) aumenta, a distribuição da média amostral \( \bar{X} \) tende a se comportar como uma distribuição normal, independentemente da forma original da distribuição de onde os dados foram retirados. Isso ocorre porque a distribuição exponencial pertence à família das distribuições que possuem variância finita. Assim, para amostras de tamanho suficientemente grande, \( \frac{1}{\bar{X}} \) - nosso estimador - também segue uma distribuição normal. Isso nos leva à conclusão de que, para grandes valores de \( n \), a estatística mencionada estará aproximadamente distribuída de maneira normal. Portanto, a afirmação é válida e reflete uma propriedade fundamental da estatística!
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