Questão FC99460
Considere um sistema constituído por 3 unidades independentes e em redundância paralela. Se Tk for uma variável aleatória que representa o tempo até a ocorrência de falha na unidad
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2022
P(Tk ≤ t) = Fk (t) = 1−e−t ,
na qual t ≥ 0 representa o tempo (em anos) até a ocorrência de falha da unidade Tk. Com nessas informações, julgue o item a seguir.
O tempo esperado até a ocorrência de falha do sistema é igual a 11/6 anos.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a questão proposta. O sistema possui 3 unidades que operam de forma independente e estão configuradas em redundância paralela. Isso significa que o sistema só falhará quando todas as unidades tiverem falhado. A função de distribuição acumulada para cada unidade é dada por
\( F_k(t) = 1 - e^{-t} \)
O que implica que cada unidade segue uma distribuição exponencial com parâmetro \( \lambda = 1 \). Para determinar o tempo esperado até a falha do sistema, precisamos encontrar a função de distribuição acumulada do sistema, que é obtida pela multiplicação das funções de cada unidade:
\( S(t) = F_1(t) \cdot F_2(t) \cdot F_3(t) = (1 - e^{-t})^3 \)
A derivada da função acumulada do sistema nos fornece a densidade de probabilidade do tempo até a falha do sistema. Aplicando a regra da cadeia e a regra da potência, encontramos a densidade de probabilidade \( S'(t) \).
Agora, sabendo que o tempo esperado \( E[T] \) de uma variável que segue uma distribuição exponencial com parâmetro \( \lambda \) é dado por \( \frac{1}{\lambda} \), devemos considerar a combinação dos tempos esperados das unidades. Assim, temos \( E[T] = E[T_1] + E[T_2] + E[T_3] \) onde \( E[T_1], E[T_2] \) e \( E[T_3] \) vão resultar em:
\( E[T_1] = 1 \), \( E[T_2] = \frac{1}{2} \), \( E[T_3] = \frac{1}{3} \)
Resolvendo a expressão movendo-se cuidadosamente pelos parâmetros, obtemos:
\( E[T] = 3 \cdot 1 - 3 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{11}{6} \)
Portanto, o tempo esperado até a falha do sistema é realmente \( \frac{11}{6} \) anos, corroborando a afirmação do item como CERTO.
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