Questão FC99472
Uma amostra aleatória simples de tamanho n = 17 é retirada de uma distribuição normal com média μ e desvio padrão igual a 2. A variância amostral é representada por S2 e denota a m
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2023
denota a média amostral.Tendo como referência as informações precedentes e considerando S = √S2, julgue o seguinte item.
A variância de S2 é igual a 2.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para entendermos por que a afirmação de que a variância de \( S^2 \) é igual a 2 está CERTA, precisamos rever alguns conceitos fundamentais sobre a variância amostral. Quando extraímos uma amostra de uma população com distribuição normal, a variância amostral \( S^2 \) se ajusta a uma distribuição qui-quadrado, dada pela relação \( \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} \), onde \( n \) é o tamanho da amostra e \( \sigma \) é o desvio padrão da população. Neste caso, temos \( n = 17 \) e \( \sigma = 2 \).
A variância de uma variável que segue uma distribuição qui-quadrado é dada por \( Var\left(X\right) = 2k \), onde \( k \) são os graus de liberdade, que neste caso é \( n-1 = 16 \). Portanto, a variância de \( \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \) é \( Var\left(\chi^2_{16}\right) = 2 \cdot 16 = 32 \).
Para encontrar a variância de \( S^2 \), utilizamos a fórmula:
\( Var(S^2) = \frac{Var\left((n-1)S^2\right) \cdot \sigma^4}{(n-1)^2} \). Substituindo os valores, temos:
\( Var(S^2) = \frac{32 \cdot 2^4}{16^2} = \frac{32 \cdot 16}{256} = 2 \).
Assim, concluímos que a variância da variância amostral é mesmo igual a 2, corroborando a afirmação proposta. Portanto, a resposta é, de fato, CERTA.
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