Questão FC99479
Considere uma amostra aleatória de tamanho n de variáveis aleatórias contínuas, Xi, independentes e identicamente distribuídas, com média μ e variância V finitas e desconhecidas. C
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Tendo como referência as informações apresentadas, julgue o item que se segue.
Se a distribuição das variáveis aleatórias X for normal, então a distribuição amostral de
seguirá uma distribuição T com n-1 graus de liberdade.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A resposta é ERRADA porque a afirmação confunde o uso das variâncias na definição das distribuições. Para que uma média amostral siga a distribuição t de Student, precisamos considerar a variância amostral (\( S^2 \)) e não a variância populacional (\( V \)).
Quando a variável aleatória \( X \) tem uma distribuição normal, a média amostral \( M_x \) é normalmente distribuída com média \( \mu \) e a variância \( \frac{V}{n} \). Portanto, a estatística que utilizamos é dada por:
\( Z = \frac{M_x - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \), onde \( \sigma^2 \) é a variância populacional. Contudo, ao substituir \( \sigma \) pela variância amostral, temos que \(\frac{M_x - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}\), e não o que foi afirmado. Portanto, se usar a variância populacional e escrever \( Z = \frac{M_x - \mu}{V/\sqrt{n}} \), essa não seguira a distribuição t, mas sim uma distribuição normal padrão Normal(0,1), invalidando a declaração inicial.
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