Questão FC99480
Uma amostra aleatória simples de tamanho n = 17 é retirada de uma distribuição normal com média μ e desvio padrão igual a 2. A variância amostral é representada por S2 e denota a m
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2023
denota a média amostral.Tendo como referência as informações precedentes e considerando S = √S2, julgue o seguinte item.
A variância da razão
é inferior a 0,5.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a questão relacionada à variância da razão \( \frac{\bar{X} - \mu}{S} \). Aqui, temos uma amostra de \( n = 17 \) extraída de uma distribuição normal, com desvio padrão conhecido de \( \sigma = 2 \). A média amostral \( \bar{X} \) e a variância amostral \( S^2 \) serão importantes para determinar a distribuição da expressão em questão. Como a amostra é relativamente pequena, a estrutura da distribuição é melhor descrita pela distribuição T de Student, que se ajusta a amostras de pequenas dimensões. A variância da expressão \( \frac{\bar{X} - \mu}{S} \) segue a fórmula \( \text{Var}\left(\frac{\bar{X} - \mu}{S}\right) \), que é uma forma normalizada levando em conta a variabilidade dos dados. Para a distribuição T, sabemos que a variância é aproximadamente \( 1 \) com \( n - 1 \) graus de liberdade, e neste caso, com \( n = 17 \), temos \( 16 \) graus de liberdade. Portanto, podemos concluir que:
\( \text{Var}\left(\frac{\bar{X} - \mu}{S}\right) \approx \frac{1}{17} \) devido à propriedade da variância \( \text{Var}[aX] = a^2 \text{Var}[X] \). Assim, a variância da razão resulta em \( \approx 0,0588 \), que é certamente inferior a \( 0,5 \). Portanto, a afirmação inicial é considerada CORRETA.
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