Questão FC99486
Uma função de densidade tem a forma em que c representa a constante de normalização e x pode assumir qualquer valor real. Com base nessa função, julgue o próximo item. c = 0,0625.
Principais Distribuições Contínuas
CEBRASPE (CESPE) · 2024
em que c representa a constante de normalização e x pode assumir qualquer valor real. Com base nessa função, julgue o próximo item.c = 0,0625.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos explorar a função de densidade apresentada e entender por que a constante c deve ser igual a 0,0625. Em primeiro lugar, estamos lidando com uma função densidade de probabilidade que deve satisfazer a condição fundamental de que a área total sob a curva é igual a 1. Isto é, precisamos garantir que integramos a função em todo o intervalo real:
\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 \).
A forma geral que nos foi dada sugere que ela possui propriedades de simetria e comportamento exponencial. Para determinar c, vamos realizar a integral.
Reformulando a integral, temos:
\( \int_{-\infty}^{\infty} c \cdot e^{-\frac{|x|}{8}} \, dx = 1 \).
Como essa função é simétrica em relação a zero, podemos simplificá-la considerando apenas a metade do intervalo:
\( 2 \int_{0}^{\infty} c \cdot e^{-\frac{x}{8}} \, dx = 1 \).
O próximo passo é calcular essa integral, que é um caso clássico de integral exponencial. O resultado da integral
\( \int e^{-\frac{x}{8}} \, dx = -8 e^{-\frac{x}{8}} \). Portanto, ao avaliar de 0 a ∞, obtemos:
\( 2 \cdot c \cdot (-8)(0 - 1) = 16c = 1 \).
Assim, encontramos a constante:
\( c = \frac{1}{16} = 0,0625 \).
Portanto, a afirmação está correta!
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