Sabendo que Z1 e Z2 são cópias independentes de uma distribuição normal padrão e considerando a razão , julgue o próximo item. A média da distribuição da razão R é igual a 1.

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação é ERRADA porque, para variáveis independentes \(Z_1\) e \(Z_2\) normais padrão, a razão \(R=Z_1/Z_2\) segue a distribuição de Cauchy, mais precisamente a Cauchy padrão.

A densidade da Cauchy padrão é \(f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}\). Uma consequência importante é que a **esperança** e a **variância** dessa distribuição não estão definidas, ou seja, a esperança matemática não existe.

Formalmente, \(E[R]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx\) é uma integral imprópria que não converge; embora o valor principal de Cauchy seja zero por simetria, isso não corresponde à esperança verdadeira, portanto não se pode afirmar que a média de \(R\) é 1.