Admitindo que X e Y são duas variáveis aleatórias normais padrão independentes, julgue o item a seguir. A variância da razão X/Y é igual a 1.

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação é ERRADA porque não se pode tratar a razão de variáveis normais como a divisão das variâncias. Se \(X\) e \(Y\) são independentes, normais padrão, a razão \(\emph{X/Y}\) segue a distribuição de Cauchy padrão.

Isso pode ser visto usando a conhecida propriedade: a razão de duas normais independentes com média zero tem densidade \(f(t)=\frac{1}{\pi(1+t^{2})}\).

A distribuição de Cauchy não possui média nem variância finitas, portanto a variância de \(\emph{X/Y}\) é indefinida, não igual a 1. Em particular, não vale \( \mathrm{Var}(X/Y)=\mathrm{Var}(X)/\mathrm{Var}(Y)\).