Questão FC99491
Julgue o próximo item, com base na distribuição de probabilidade condicional em que x = 0,1,2,3⋯,w > 0 e W segue uma distribuição exponencial com média igual a 1. Var(X) = 1.
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2024
em que x = 0,1,2,3⋯,w > 0 e W segue uma distribuição exponencial com média igual a 1.Var(X) = 1.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que Var(X) = 1 está ERRADA. Para entender por que isso ocorre, precisamos primeiro considerar que a questão nos dá a distribuição condicional de X dado W, onde W segue uma distribuição exponencial com média 1. Isso implica que a função de densidade de probabilidade de W é dada por \( f(w) = e^{-w} \). A variável aleatória X tem uma distribuição de probabilidade definida dessa forma: \( P(X = x) = \int_0^{\infty} P(X = x | W = w) f(w) dw \). Quando substituímos as expressões, obtemos uma nova função que segue uma distribuição geométrica. Para uma variável geométrica com parâmetro \( p = \frac{1}{2} \), a variância é calculada como \( Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} \). Assim, \( Var(X) = \frac{1 - \frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1/2}{1/4} = 2 \). Portanto, a variância correta de X é 2, e não 1, o que confirma que a resposta original estava incorreta.
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