Questão FC99495
Supondo que Nseja uma variável aleatória discreta com função de probabilidade P(N = n) = 0,5n+1, em que n ∈ {0,1,2,⋯} e considerando outra variável aleatória discreta X que segue a
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2024
0,5n, na qual 0 ≥ x ≥ n , julgue o seguinte item.O valor esperado de X é igual a 1.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Para analisar a questão, devemos primeiro entender as variáveis aleatórias envolvidas. A variável N possui uma função de probabilidade definida como \( P(N = n) = 0,5^{n+1} \), o que indica que N segue uma distribuição geométrica com parâmetro \( p = 0,5 \). Isso significa que o valor esperado de N pode ser calculado usando a fórmula \(\frac{1-p}{p}\), resultando em \( E(N) = 1 \).
Agora, temos também a variável X que é condicionada a N, com a probabilidade \( P(X = x | N = n) = \binom{n}{x} (0,5)^n \), indicando que, dado N, X segue uma distribuição binomial com sucesso médio que depende de N. Portanto, o valor esperado de X condicionado a N é \( E(X|N) = 0,5N \).
Usando a Lei da Esperança Total, podemos então determinar o valor esperado de X como \( E(X) = E(E(X|N)) = E(0,5N) = 0,5E(N) \). Com isso, temos \( E(X) = 0,5 \cdot 1 = 0,5 \).
Portanto, a afirmação de que o valor esperado de X é igual a 1 está ERRADA, pois, na verdade, chegamos ao resultado de \( E(X) = 0,5 \).
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