Questão FC99496
Supondo que Nseja uma variável aleatória discreta com função de probabilidade P(N = n) = 0,5n+1, em que n ∈ {0,1,2,⋯} e considerando outra variável aleatória discreta X que segue a
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2024
0,5n, na qual 0 ≥ x ≥ n , julgue o seguinte item.P(X = 0) = 2/3.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a situação proposta, onde temos a variável aleatória discreta N com a função de probabilidade dada por \( P(N = n) = 0,5^{n+1} \), para \( n \in \{0, 1, 2, \ldots\} \). Agora, considere uma outra variável discreta X que depende de N, apresentada na forma \( P(X = x|N = n) = \binom{n}{x} 0,5^n \) para \( n \geq x \geq 0 \). Para encontrar \( P(X = 0) \), devemos avaliar a soma total das probabilidades condicionais ponderadas por N: \( P(X=0) = \sum_{n=0}^{\infty} P(X=0 | N=n) \cdot P(N=n) \). Substituindo as funções fornecidas, temos:
\( P(X = 0) = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n}{0} 0,5^n \cdot 0,5^{n+1} \). O coeficiente binomial \( \binom{n}{0} \) é sempre igual a 1, simplificando nossa soma para:
\( P(X=0) = \sum_{n=0}^{\infty} 0,5^{2n+1} \). Agrupando, reformulamos a soma como:
\( P(X=0) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{4} \right)^n \). Isso representa uma série geométrica com primeiro termo igual a 1 e razão \( q = \frac{1}{4} \). Assim, calculamos a soma: \( S = \frac{1}{1-q} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{4}{3} \). Portanto, temos:
\( P(X=0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \). Concluímos, então, que a afirmação está CERTA!
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