Questão FC99497
Supondo que Nseja uma variável aleatória discreta com função de probabilidade P(N = n) = 0,5n+1, em que n ∈ {0,1,2,⋯} e considerando outra variável aleatória discreta X que segue a
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2024
0,5n, na qual 0 ≥ x ≥ n , julgue o seguinte item.A variância de X é igual a 0,75.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: O enunciado apresenta duas variáveis aleatórias discretas: N, que tem uma lei de probabilidade dada por \( P(N = n) = 0,5^{n+1} \), e X, cuja distribuição condicional é determinada por \( P(X = x | N = n) = \binom{n}{x} 0,5^n \), onde \( n \geq x \geq 0 \). Para calcular a variância de X, utilizamos a lei da variância total, que é expressa como:
\( \text{Var}(X) = E[\text{Var}(X | N)] + \text{Var}(E[X | N]) \).
Identificamos que a variável N segue uma distribuição geométrica com parâmetro \( p = 0,5 \). Assim, temos:
\( E(N) = \frac{1-p}{p} = 1 \) e \( \text{Var}(N) = \frac{1-p}{p^2} = 2 \).
Por outro lado, X | N segue uma distribuição binomial, onde:
\( E(X | N) = 0,5N \) e \( \text{Var}(X | N) = 0,25N \).
Agora, podemos substituir esses valores na fórmula da variância total:
\( \text{Var}(X) = E(0,25N) + \text{Var}(0,5N) \).
A aplicação das propriedades de valor esperado e variância nos derretirá:
\( = 0,25E(N) + 0,25\text{Var}(N) = 0,25 \cdot 1 + 0,25 \cdot 2 = 0,75 \).
Com isso, confirmamos que a variância de X é de fato 0,75, justificando assim a afirmativa como CERTA.
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