Questão FC99504
Considerando uma distribuição condicional expressa na forma de função de densidade de probabilidade em que e denota a constante de Euler, e x e y, valores reais positivos que repre
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2024
em que e denota a constante de Euler, e x e y, valores reais positivos que representam, respectivamente, os pontos de suporte das variáveis aleatórias contínuas X e Y, julgue o item a seguir.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para entender por que a afirmação é CERTA, vamos explorar a relação entre as distribuições das variáveis aleatórias X e Y. A função de densidade condicional dada é f(x|y) = y e^{-xy}. Quando dizemos que Y segue uma distribuição exponencial com média igual a 1, significa que sua função de densidade g(y) é dada por g(y) = e^{-y} para y > 0.
Nosso objetivo é encontrar a função de densidade marginal da variável X, denotada por f(x). Para isso, utilizamos a relação entre a densidade marginal e a condicional, onde a densidade marginal pode ser expressa como:
f(x) = ∫ f(x|y) g(y) dy.
Substituindo as funções que temos, obtemos:
f(x) = ∫_{0}^{∞} (y e^{-xy}) e^{-y} dy = ∫_{0}^{∞} y e^{-y(x+1)} dy.
Para calcular essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, definindo u = y e dv = e^{-y(x+1)} dy. Isso nos leva a resolver a integral e, após algumas simplificações e reordenações, encontramos que f(x) = (x + 1)^{-2}. Portanto, a afirmativa é corroborada com essa derivação, confirmando que a função de densidade da variável aleatória X é de fato (x + 1)^{-2}. Assim, concluímos que a resposta é CORRETA.
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