Considerando uma distribuição condicional expressa na forma de função de densidade de probabilidade em que e denota a constante de Euler, e x e y, valores reais positivos que repre

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação é ERRADA porque a densidade condicional \(f(x|y)=y e^{-xy}\) é a de uma distribuição exponencial com parâmetro (taxa) igual a \(y\), não com média igual a \(y\).

A média condicional de uma exponencial com taxa \(\lambda\) é \(1/\lambda\). Assim, para \(Y=y\) vale

\(E[X|Y=y]=\int_0^{\infty} x\,y e^{-xy}\,dx=\frac{1}{y}\),

obtida por substituição \(t=xy\), pois fica \(E[X|Y=y]=(1/y)\int_0^{\infty} t e^{-t}\,dt=(1/y)\). Logo, para \(Y=5\) temos \(E[X|Y=5]=1/5\), não 5.